充分必要条件

前情概要

⚠️ 充分必要条件的题目，其实质是〔左\(\Rightarrow\)右〕和〔左\(\Leftarrow\)右〕的推出关系是否成立。判定定理都是充分条件；性质定理都是必要条件； 积累常见的充要条件的素材

判断方法

①充分必要条件的定义法；②集合法；③等价命题法；

典例剖析

已知\(a>0，b>0\)，则“\(a^2+b^2<1\)”是“\(ab+1>a+b\)”的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：条件\(a >0，b >0，a^2+b^2 <1\)对应位于第一象限的单位圆内部的点的横纵坐标，故\(0< a<1\)且\(0< b<1\)；

而结论\(ab+1>a+b\)等价于\((a-1)(b-1)>0\)，即\(a>1，b>1\)

或者\(0< a<1，0< b<1(本题有前提条件)\)；

故\(a^2+b^2<1\)能推出\(ab+1>a+b\)，但反之不成立，选A。

\(a>b>1\)是\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)的______________条件。

法1：先看左\(\Longrightarrow\)右，由\(a > b>1\)可知，

\(ab>0，a-b>0，ab-1>0\)，

\(a+\cfrac{1}{a}-b-\cfrac{1}{b}=(a-b)\cfrac{ab-1}{ab}>0\)，

故\(a>b>1\)能推出\(a+\cfrac{1}{a}> b+\cfrac{1}{b}\)；

再看右\(\Longrightarrow\)左，当\(a=\cfrac{1}{4}，b=\cfrac{1}{2}\)时满足\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)，

但是不满足\(a>b>1\)，故是充分不必要条件。

法2：借助函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)，

则\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)即就是\(f(a)>f(b)\)，

结合对勾函数的图像，很容易判定\(a>b>1\)能推出\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)；

但是由\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)却不能推出\(a>b>1\)。

故是充分不必要条件。

设\(0<x<\cfrac{\pi}{2}\)，则\("xsin^2x <1"\)是 \(“xsinx <1”\)的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由于在区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上，函数\(y=x>0\)和函数\(y=sinx>\)且两个都单调递增，

故\(y=x\cdot sinx\)在区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增，

同理函数\(y=x\cdot sin^2x\)在区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增，

且在区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上，\(y=x\cdot sinx\)图像会高于\(y=x\cdot sin^2x\)的图像，

其图像会很类似\(y=x^2\)和\(y=x^3\)在\((0，1)\)段的大致图像。

故由\(xsin^2x<1\)不能推出\(y=xsinx<1\)，但是由\(y=xsinx<1\)能推出\(y=xsin^2x\)。故选 \(B\) .

法2：区间\((0，\cfrac{\pi}{2})\)上，\(0< sinx <1\)，故\(0< sin^2x < sinx <1\)，

故\(xsin^2x < xsinx\)，当\(xsinx <1\)时，必能推出\(xsin^2x <1\)，

但是由\(xsin^2x <1\)并不能推出\(xsinx <1\)，故选必要不充分条件。故选 \(B\) .

【2019届高三理科数学三轮模拟训练题】“\(0<x<1\)”是“\(sinx^2<sinx\)”的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $ B.必要不充分$ $C.充分必要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由于\(0<x<1\)，则\(0<x^2<x<1\)，由于\(sinx\)在\((0，1)\)上单调递增，故得到\(sinx^2<sinx\)，即充分性成立；

若\(\cfrac{\pi}{2}<x<x^2<\pi\)，则由于\(sinx\)在\((\cfrac{\pi}{2}，\pi)\)上单调递减，必有\(sinx^2<sinx\)，而由\(\cfrac{\pi}{2}<x<x^2<\pi\)，

得到\(\cfrac{\pi}{2}<x<\sqrt{\pi}\)，而不是得到\(0<x<1\)，故必要性不成立，故选\(A\)。

(2017兰州模拟)在等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1 < a_2 < a_3\)是等比数列\(\{a_n\}\)单调递增的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $ B.必要不充分$ $C.充分必要$ $D.既不充分也不必要$

分析：当\(a_1 < a_2 < a_3\)时，设公比为\(q\)，则有\(a_1 < a_1q < a_1q^2\)；

若\(a_1>0\)，则有\(1< q< q^2\)，得到\(q >1\)，

此时\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，指数型函数，单调递增；

若\(a_1<0\)，则有\(1> q > q^2\)，得到\(0< q <1\)，

此时\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，指数型函数，单调递增；

反之，当数列\(\{a_n\}\)是递增等比数列，必有\(a_1 < a_2< a_3\)，

故选 C、充分必要条件 。

反思：由等比数列的通项公式可知，\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)可知，

当\(a_1 >0且q >1\)或者\(a_1 <0且0< q <1\)时，\(a_n\)单调递增；

当\(a_1 <0且q>1\)或者\(a_1 >0且0< q <1\)时，\(a_n\)单调递减；

当\(q=1\)时为常数列，无单调性；

当\(q <0\)时为摆动数列，无单调性。

在等比数列\(\{a_n\}\)中，\(q>1\)是等比数列\(\{a_n\}\)单调递增的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由上述分析可知：\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)，指数型函数，

它的变化取决于两个要素，\(a_1\)和\(q\)，故选D。

在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(d>0\)是等差数列\(\{a_n\}\)单调递增的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由\(a_n=dn+(a_1-d)\)可知，选C。

【2017凤翔中学高三理科数学第二次月考第3题】设\(a，b\in R\)，则\(\cfrac{a}{b}>1\)是\(|a|>|b|\)成立的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由\(\cfrac{a}{b}>1\)两边平方，得到\(\cfrac{a^2}{b^2}>1\)，即\(a^2>b^2\)，即得到\(|a|>|b|\)，而由\(|a|>|b|\)不能得到\(\cfrac{a}{b}>1\)，

只要让\(a=1，b=0\)，就能说明不能。故选\(A\).

【2017凤翔中学高三文科数学第二次月考第13题】 \(p：x\neq 2 或 y\neq 4\) 是 \(q：x+y\neq 6\) 的__________条件。

法1：集合法，从形的角度，正面思考，考虑由\(x和y\)构成的点的集合，这样问题就有了形的依托，\(x\neq 2 或y\neq 4\)表示平面内除过点\((2，4)\)之外的部分，记为集合 \(A\)；\(q：x+y\neq 6\)表示平面内除过直线 \(x+y=6\) 外的部分，记为集合 \(B\)，很显然有 \(B\subseteq A\)，故填写 “必要不充分” 条件。

法2：从数的角度，正面思考，令\(x=3，y=3\)，不能推出 \(x+y\neq 6\)，但是由\(x+y\neq 6\)能推出\(x\neq 2 或y\neq 4\)，故填写“必要不充分”条件。

法3：等价转化，正难则反，由于原命题和其等价命题同真同假，故只要判断\(x+y=6\)是\(x=2且y=4\)的（）条件即可。由\(x+y=6\)不能推出\(x=2且y=4\)，但是由\(x=2且y=4\)能推出\(x+y=6\)，故填写“必要不充分”条件。

函数\(f(x)＝ax＋3\)在区间\([－1，2]\)上存在零点的充要条件是________．

解析：函数\(f(x)＝ax＋3\)在\([－1，2]\)上存在零点等价于直线\(f(x)＝ax＋3\)在\([－1，2]\)上与\(x\)轴有交点，

则\(\begin{cases}a>0\\f(-1)=-a+3\leq 0\\f(2)=2a+3\ge0\end{cases}\)或\(\begin{cases}a<0\\f(-1)=-a+3\ge 0\\f(2)=2a+3\leq 0\end{cases}\)

解得 \(a≥3\) 或 \(a≤-\cfrac{3}{2}\)。^[1]

【向量的内积】【2017北京卷】设\(\vec{m}\)，\(\vec{n}\)是非零向量，则"存在负数\(\lambda\)，使得\(\vec{m}=\lambda \vec{n}\)"是“\(\vec{m}\cdot \vec{n}<0\)”的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：将题目的已知条件等价转化为：存在负数\(\lambda\)，使得\(\vec{m}=\lambda \vec{n}\Leftrightarrow \theta=180^{\circ}\)

将题目的所求结论等价转化为：\(\vec{m}\cdot \vec{n}<0\Leftrightarrow \theta\in(90^{\circ}，180^{\circ}]\)，

故此时能轻易判断选 \(A\)。

(线性回归方程)已知数组\((x_1，y_1)\)，\((x_2，y_2)\)，\(\cdots\)，\((x_{10}，y_{10})\)满足线性回归方程\(y=bx+a\)，则“\((x_0，y_0)\)满足线性回归方程\(y=bx+a\)”是“\(x_0=\cfrac{x_1+x_2+\cdots+x_{10}}{10}\)，\(y_0=\cfrac{y_1+y_2+\cdots+y_{10}}{10}\) ”的条件【\(\qquad\)】

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：选B，先验证由后推前的命题，由于\((x_0，y_0)\)为这一组数据的样本中心点，故其满足线性回归方程；

但当我们验证由前推后的命题时，此时并不一定知道，\((x_0，y_0)\)为样本中心，故前不能推后，即为必要不充分条件。

这句话可以这样理解，样本中心一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的点不一定是样本中心，也可能是其他点。

(集合的关系)设\(U\)为全集，\(A、B\)为集合，则“存在集合\(C\)，使得\(A\subseteq C\)，\(B\subseteq C_UC\)”是“\(A\cap B=\varnothing\)”的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：判断充分性，由题目可知，当存在集合\(C\)，使得\(A\subseteq C\)，\(B\subseteq C_UC\)时，

必有\(A\cap B=\varnothing\)成立，故充分性成立；

再判断必要性，当\(A\cap B=\varnothing\)成立时，\(U\)为全集，\(A、B\)为集合，

只要令\(A=C\)即能说明，必然存在集合\(C\)，使得\(A\subseteq C\)，\(B\subseteq C_UC\)成立，故必要性成立，

故选充要条件，C.

(函数的奇偶性)设\(f(x)\)，\(g(x)\)是定义在\(R\)上的函数，\(h(x)=f(x)+g(x)\)，则“\(f(x)\)，\(g(x)\)均为偶函数”是“\(h(x)\)为偶函数”的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：充分性成立，原因"偶+偶=偶"；必要性不成立，比如，\(h(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数，

但是\(f(x)=e^x\)和\(g(x)=e^{-x}\)都没有奇偶性；故选\(A\)。

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】方程\(\cfrac{x^2}{8+a}-\cfrac{y^2}{a-4}=1\)表示双曲线的充要条件是________.

分析：方程要表示为双曲线，等价于\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4>0}\end{array}\right.\)或者\(\left\{\begin{array}{l}{8+a<0}\\{a-4<0}\end{array}\right.\)

解得\(a<-8\)或\(a>4\)。故其充要条件为\(a\in (-\infty，8)\cup(4，+\infty)\)。

【引申】方程\(\cfrac{x^2}{8+a}-\cfrac{y^2}{a-4}=1\)表示椭圆的充要条件是________.

分析：先将方程变形为\(\cfrac{x^2}{8+a}+\cfrac{y^2}{-(a-4)}=1\)，方程要表示为椭圆，

等价于\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4<0}\\{8+a>-(4-a)}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4<0}\\{8+a<-(4-a)}\end{array}\right.\)，

解得\(-8<a<-2\)或\(-2<a<4\)，故其表示椭圆的充要条件为\(a\in (-8，-2)\cup (-2，4)\).

补充：当\(a=-2\)时，方程表示圆；

已知函数\(f(x)=2mx^3-3x^2+1(m\in R)\)，求证：“\(m>1\)”是“函数\(f(x)\)有唯一零点”的充分不必要条件。

分析：函数有唯一零点，即\(m=\cfrac{3x^2-1}{2x^3}=g(x)\)有唯一解，

即函数\(y=g(x)\)与\(y=m\)只有一个交点，

用导数求得单调性，做出函数的图像，由图像可知，

当\(m>1\)时，二者仅有一个交点，但仅有一个交点时，\(m>1\)或\(m<-1\) ，故得证。

\(“sin\theta=cos\theta”\)是\(“cos2\theta=0”\)的【\(\qquad\)】条件。

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：由\(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)可知，当\(sin\theta=cos\theta\)时，能推出\(cos2\theta=0\)，故充分性成立；

但是当\(cos2\theta=0\)时，只能推出\(cos^2\theta=sin^2\theta\)，并不能推出\(sin\theta=cos\theta\)，故必要性不成立，

综上所述，选\(A\).

【2019焦作模拟】设\(\theta\in R\)， 则\("cos\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}"\) 是\("tan\theta=1"\)的____________条件。

分析：由\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，得到\(A=\{\theta\mid\theta=2k\pi\pm \cfrac{\pi}{4}\}\)，\(k\in Z\)，由\(tan\theta=1\)，得到\(B=\{\theta\mid\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{4}\}\)，\(k\in Z\)，

由于\(A\not\subseteq B\)，且\(B\not\subseteq A\)，故填写既不充分也不必要条件。

解后反思：解三角方程，需要用到三角函数线。

【2019天津六校联考】\(a=1\)是函数\(f(x)=\cfrac{e^x}{a}-\cfrac{a}{e^x}\)为奇函数的______________条件。

分析：当\(a=1\)时，则\(f(x)=e^x-e^{-x}\)，由\(f(-x)=-f(x)\)，则\(f(x)\)是奇函数，即充分性成立；

若\(f(x)\)为奇函数，恒有\(f(-x)+f(x)=0\)，转化为\((e^x+e^{-x})(\cfrac{1}{a}-a)=0\)，解得\(a=\pm 1\)， 故必要性不成立，

填写：充分不必要。

【2016年宝鸡市二检理科数学第5题】已知条件“\(p:k=\sqrt{3}\)”，条件“\(q:\)直线\(y=kx+2\)与圆\(x^2+y^2=1\)相切”，则\(\neg p\)是\(\neg q\)的【\(\qquad\)】条件

$A.充分不必要$ $B.必要不充分$ $C.充要$ $D.既不充分也不必要$

分析：先化简命题\(q\)，由圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx+2\)的距离为\(1\)，即由\(d=r\)得到，\(\cfrac{|2|}{k^2+1}=1\)，解得\(k=\pm \sqrt{3}\)，或者联立消元后的方程\(x^2+(kx+2)^2=1\)的\(\Delta=0\)，都可以得到\(k=\pm \sqrt{3}\)，

法1：即\(p:k=\sqrt{3}\)，\(q:k=\pm\sqrt{3}\)，故\(p\Rightarrow q\)，但是\(q\not\Rightarrow p\)，故\(p\)是\(q\)的充分不必要条件，则\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要不充分条件。故选\(B\).

法2：由上得到，\(\neg p:k\neq\sqrt{3}\)，\(\neg q:k\neq\pm\sqrt{3}\)，故由集合的包含关系可知，\(\neg p\not\Rightarrow \neg q\)，但是\(\neg q\Rightarrow \neg q\)，故\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要不充分条件。故选\(B\).

充要条件的证明

【2025届高三月考二试题19，有改编】欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 \(y=f(x)\)，如果对于其定义域 \(D\) 中任意给定的实数 \(x\)，都有 \(-x \in D\)，并且 \(f(x)\cdot f(-x)=1\)，就称函数 \(y=f(x)\) 为倒函数 .

(3). 若 \(y=f(x)\) 是 \(R\) 上的倒函数，其函数值恒大于 \(0\)，且在 \(R\) 上是增函数 . 记 \(F(x)\)\(=\)\(f(x)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x)}\)，证明: \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 是 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 的充要条件.

解：先证明充分性，当 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 时， \(x_1\)\(>\)\(-x_2\) 且 \(x_2\)\(>\)\(-x_1\) ，因为 \(f(x)\) 是增函数，所以 \(f(x_1)\)\(-\)\(f(-x_2)\)\(>\)\(0\)，\(f(x_2)\)\(-\)\(f(-x_1)\)\(>\)\(0\)，又由倒函数定义可得，\(f(-x_2)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)，\(f(-x_1)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)，即 \(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(>\)\(0\)，\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(>\)\(0\)，所以\(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(=\)\(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(=\)\(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(>\)\(0\).

再证明必要性，当 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 时，有 \(f(x_1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_1)}\)\(+\)\(f(x_2)\)\(-\)\(\cfrac{1}{f(x_2)}\)\(=\)\(\bigg[f(x_1)\)\(+\)\(f(x_2)\)\(\bigg]\bigg[\cfrac{f(x_1)f(x_2)-1}{f(x_1)f(x_2)}\bigg]\)\(>\)\(0\)，因为已知 \(f(x)\) 恒大于 \(0\)，所以必须有 \(f(x_1)\)\(f(x_2)\)\(-\)\(1\)\(>\)\(0\)，即\(f(x_1)f(x_2)\)\(>\)\(1\)\(=\)\(f(x_1)\)\(f(-x_1)\)，所以 \(f(x_2)\)\(>\)\(f(-x_1)\)，因为 \(f(x)\) 是增函数，所以 \(x_2\)\(>\)\(-x_1\)，即 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\)；

综上可得 \(x_1\)\(+\)\(x_2\)\(>\)\(0\) 是 \(F(x_1)\)\(+\)\(F(x_2)\)\(>\)\(0\) 的充要条件. 参阅源题

当\(x>0\)时，求证：\(a>ln2-1\)是\(e^x>x^2-2ax+1\)的充分不必要条件。

分析：本题目分两步完成证明：第一步，先求出当\(x>0\)时\(e^x>x^2-2ax+1\)的\(a\)的取值范围；第二步，利用集合的关系来判断命题的关系；

解析：当 \(x>0\) 时，\(e^x\)\(>\)\(x^2\)\(-2ax\)\(+\)\(1\)\(\Longleftrightarrow\)\(a\)\(>\)\(\cfrac{x^2-e^x+1}{2x}\) 恒成立，

令 \(h(x)\)\(=\)\(x^2\)\(-e^x\)\(+1\)，则 \(h'(x)\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\([1-\cfrac{(x-1)e^x}{x^2}\)\(-\)\(\cfrac{1}{x^2}]\)\(=\)\(\cfrac{(x-1)(x+1-e^x)}{2x^2}\)，

由于\(x>0\)，容易知道\(x+1-e^x<0\).

令 \(h'(x)=0\)，则 \(x=1\)，当 \(0<x<1\) 时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\searrow\)；

当 \(x>1\) 时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\nearrow\)；

故 \(h(x)_{max}\)\(=\)\(h(1)\)\(=\)\(1-\)\(\cfrac{e}{2}\)，从而\(a\)\(>\)\(1-\)\(\cfrac{e}{2}\)。

现在需要证明：\(a\)\(>\)\(ln2\)\(-\)\(1\)\(\Longrightarrow\)\(a\)\(>\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{e}{2}\) .

即只需证明 \(ln2\)\(-\)\(1\)\(>\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{e}{2}\)，即证明 \(ln2\)\(+\)\(\cfrac{e}{2}\)\(-\)\(2\)\(>\)\(0\)；

令 \(\phi(x)\)\(=\)\(lnx\)\(+\)\(\cfrac{e}{x}\)\(-\)\(2\)，\(\phi'(x)\)\(=\)\(\cfrac{1}{x}\)\(-\)\(\cfrac{e}{x^2}\)\(=\)\(\cfrac{x-e}{x^2}\)，由 \(\phi'(x)=0\) 得到 \(x=e\)，

经讨论可知 \(\phi(x)_{min}\)\(=\)\(\phi(e)\)\(=\)\(0\)，故 \(\phi(2)\)\(=\)\(ln2\)\(+\)\(\cfrac{e}{2}\)\(-\)\(2\)\(>\)\(0\)

即就是 \(a\)\(>\)\(ln2\)\(-1\)\(\Longrightarrow\)\(a\)\(>\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{e}{2}\) .

故 \(a\)\(>\)\(ln2\)\(-\)\(1\) 是 \(e^x\)\(>\)\(x^2\)\(-\)\(2ax\)\(+\)\(1\) 的充分不必要条件。

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1. 与原题目完全等价的命题为：方程\(ax+3=0\)在区间\([－1，2]\)上有解的充要条件是_______。
   分析：题目这样变化后，求解过程和结果都和上述问题一样。 ↩︎